Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.

Національний Технічний Університет України "Київський Політехнічний Інститут" Інститут телекомунікаційних систем

Розрахунково-графічна робота з дисципліни:
"Метрологія, стандартизація, сертифікація і акредитація"

На тему: «Вивчення похибки багаторазових вимірювань параметрів елементів радіоелектронної апаратури (РЕА)»

Виконав:

ст. гр. Т3-91

Божок А.А.

Захистив роботу

“____ “___________ 2010 р.

на оцінку:

Київ -2010

Виконання роботи:

Вихідні данні:

Найменування елемента РЭА: індуктивність;

Результати вимірювань значень параметрів РЭА:

Номер заміру Значення параметру ∆i ∆i2
1 -52,3 2735,29
2 -49,3 2430,49
3 -48,3 2332,89
4 -46,3 2143,69
5 -42,3 1789,29
6 -41,3 1705,69
7 -39,3 1544,49
8 -33,3 1108,89
9 -20,3 412,09
10 -16,3 265,69
11 -15,3 234,09
12 -14,3 204,49
13 -8,3 68,89
14 -3,3 10,89
15 1,7 2,89
16 1,7 2,89
17 10,7 114,49
18 12,7 161,29
19 14,7 216,09
20 17,7 313,29
21 19,7 388,09
22 27,7 767,29
23 29,7 882,09
24 30,7 942,49
25 33,7 1135,69
26 35,7 1274,49
27 44,7 1998,09
28 47,7 2275,29
29 49,7 2470,09
30 51,7 2672,89

Номінальне значення: 278 мГн

М(X) ∑∆i σ σсер
277,3 33,53038 6,121781

Середньоквадратичне відхилення:

= 33,53038 мГн

Дисперсія:

1124,286 мГн

Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного:

= 6,121781 мГн

Математичне сподівання:

М(X)= = 277,3 мГн

Перевірка ряду значень на наявність грубих похибок.

Це легко зробити по ряду квадратів залишкових відхилень ∆i2. Виділяється значення можна вважати промахом тільки в тому випадку, якщо ймовірність його появи є досить малою, тобто меншою, ніж це передбачає закон розподілу випадкових похибок. Вирахувати величину:

Знайденні значення ti порівнюють с tкр :

якщо ti > tкр то результат прибираємо

якщо ti < tкр то результат залишаємо у ряді

Максимальне значення: 51,7

Мінімальне значення: -52,3

tmax= 1,541885

tmin= = 1,55978

По таблиці tкр=2.64

tmax < tкр и tmin < tкр значить у нашому ряду значень грубих похибок немає.

Розрахунок значення параметра найбільш близького до справжнього значення і його похибка при довірчій ймовірності 0,95.

Для кількості вимірювань n = 30> 20 довірчий інтервал знаходиться за допомогою функції розподілу Лапласа Ф(z), значення якої наведено у таблицях,

Ф(z)=Pд ,

де Pд =0,95 – довірчий інтервал.

Для Ф(z)=0,95 z=1,96

За формулою D=z* ,

деz – аргумент функції Лапласа

D=1,96*6,121781 =11,99869 мГн

Тоді результат буде записуватися в такому вигляді:

МГн

Побудова гістограми

Розіб'ємо весь діапазон значень, які приймає досліджувана величина на під діапазони (розряди). У відповідності з теорією, розряди можуть бути як однаковою довжини, так і різної. У даному випадку зручно вибирати розряди різної довжини.

Номер розряду Діапазон Значення, що попадають у діапазон
-55…-44 -52,3 -49,3 -48,3 -46,3
-44…-33 -42,3 -41,3 -39,3 -33,3
-33…-15 -20,3 -16,3 -15,3
-15…0 -14,3 -8,3 -3,3
0…11 1,7 1,7 10,7
11…22 12,7 14,7 17,7 19,7
22…33 27,7 29,7 30,7
33…45 33,7 35,7 44,7
45…55 47,7 49,7 51,7

Тоді статистичний ряд буде мати наступний вигляд:

№ інтервалу Інтервал К-ть значень mi Статистична ймовірність рі = mi/n попадання в інтервал Довжина діапазон ( li ) Висота стовпчика гістограми h=pi/li
-55…-44 0,133333 0,012121
-44…-33 0,133333 0,012121
-33…-15 0,1 0,005556
-15…0 0,1 0,006667
0…11 0,1 0,009091
11…22 0,133333 0,012121
22…33 0,1 0,009091
33…45 0,1 0,008333
45…55 0,1 0,01

Побудуємо гістограму

Гістограма будується наступним чином: по осі абсцис відкладаються розряди, і на кожному з розрядів як їх підставі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Ця умова виконується, якщо висота прямокутника визначається як відношення частоти кожного розряду до довжини цього розряду:

Побудова експериментальної функції щільності ймовірності розподілення похибок вимірювань.

№ інтервалу Границя інтервалу Експериментальна щільність, pi/li
-55 0,012121
-44 0,012121
-33 0,005556
-15 0,006667
0,009091
0,012121
0,009091
0,008333

Графік експериментальної функції розподілення щільності ймовірності

Теоретичні відомості

Основне завдання мат. статистики - розробка методів реєстрації, опису й аналізу експериментальних даних, що утворюються в результаті спостережень випадкових числових явищ.
Метою є побудова найбільш точної мат. моделі спостережуваного явища з можливістю подальшого прогнозування.
Об'єктом спостереження є деяка сукупність експериментальних даних, отриманих у результаті деякого експерименту або яким або іншим шляхом.
Перший крок - першорядна обробка даних з метою зведення до більш зручного виду для дослідження.

Статистичний ряд розподілу якої-небудь випадкової величини А - таблиця, що складається з інтервалів, на які розбитий весь діапазон значень А, і частот входження значень А в даний діапазон ( рi=mi/n, де mi - кількість значень А, які потрапляють в i -й проміжок).

Гістограма – спосіб графічного представлення статистичного ряду. Побудова здійснюється: на осі абсцис відкладаються інтервали, і на кожному інтервалі будується стовпчик, площа якого відповідає частоті в i -му інтервалі.

Математичне сподівання – чисельна характеристика, що визначає деяку середньостатистичну величину, визначається за формулою:

Де ai - значення випадкової величини в i-му спостереженні, n - число спостережень.

Середньоквадратичне відхилення – кількісна характеристика розподілу випадкової величини, яке визначає певний середньо очікуване відхилення значень випадкової величини від її середнього статистичного. , де Di -відхилення виміряного значення від заданого

Дисперсія – числова характеристика розподілу, що визначає ступінь розкиду випадкової величини біля її математичного сподівання.

Де ai - значення випадкової величини в i -му спостереженні, n - число спостережень.

Наступний крок – підбор відповідно для отриманих даних мат. моделі, яка буде найбільш точно описувати випадковий процес, характеристики якого визначаються в процесі даного дослідження.

Одним з найбільш поширених видів математичної моделі випадкових процесів - є функція розподілу щільності ймовірності.

Її визначають як похідну функції розподілу випадкової величини. Її сенс: встановлення залежності розподілу площині ймовірності випадкової величини від значень цієї величини (функція, що описує ймовірність потрапляння значення випадкової величини в деяку околицю значення цієї величини, віднесену до протяжності цієї околиці).

Процес вибору мат. моделі отримав назву «вирівнювання статистичних рядів». Його суть полягає у виборі теоретичної кривої розподілу, яка висловлює лише загальні риси статистичного матеріалу, відкидаючи випадкові, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних.

Якщо під час перевірки оптимізується негативний результат, завдання побудови мат. моделі вважається невиконаною і вимагає на другому етапі більш детального аналізу.

Всі знайдені результати запишемо в таблицю:

Параметр Результат
Математичне сподівання (середнє арифметичне) 277,3 мГн
Дисперсія 1124,286 мГн
Середньоквадратичне відхилення 33,53038 мГн
Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного 6,121781 мГн
Наявність грубих помилок немає
Довірчий інтервал 11,99869 мГн

Висновки:

У ході виконання роботи було проаналізовано ряд значень, отриманий у ході вимірювання елементів РЄА. Всі вимірювання можна вважати достовірними, оскільки грубих помилок не знайдено і отриманий результат:

((277,3 11,99869) мГн
В результаті проведених розрахунків можна зробити висновок, що параметри елемента РЄА – індуктивності є випадковими величинами. Збільшення кількості вимірювань призведе до зростання ймовірності.
У процесі виконання роботи ширина досліджуваних інтервалів вибиралася не однаковою.

Література:
[1] Л. В. Коломієць Електрорадіоізмеренія: Навчальний посібник для вузов.-Л.: Энергоатомиздат. Ленінгр. отд-ня, 1983.-320 с., мул.
[2] Конспект лекцій (за А. А. Вульпе)


3438093814088591.html
3438141316612766.html
    PR.RU™